2010年04月03日

MC3 P5 [3]

Q. 整数nを6で割ると商がpで余りが3であり,この商pを4で割ると余りは2である。このような整数nのうちで,100にもっとも近い数を求めなさい。

A. この問題については,具体的な数字を順番に検討していって条件を満たすものを見つけ出す方法と,文字式を使って解く方法,があります。
前者の方法がわかりやすいかもしれませんが,時間がかかってしまいそうです。まず,前者の方法を以下に示します。

(方法1)
最初に,問題文の前半に書かれている条件を満たすものを列挙します。
n=9のとき, 6で割ると商p=1, 余り3
n=15のとき,6で割ると商p=2, 余り3
n=21のとき,6で割ると商p=3, 余り3
...
n=87のとき,6で割ると商p=14, 余り3
n=93のとき,6で割ると商p=15, 余り3
n=99のとき,6で割ると商p=16, 余り3
n=105のとき,6で割ると商p=17, 余り3
n=111のとき,6で割ると商p=18, 余り3
...

次に,これらの中で,問題文の後半に書かれている条件を満たすものを探していきます。
...
p=14のとき,4で割ると商3,余り2
p=15のとき,4で割ると商3,余り3
p=16のとき,4で割ると商4,余り0
p=17のとき,4で割ると商4,余り1
p=18のとき,4で割ると商4,余り2
...

条件に当てはまるのは..., p=14, p=18, ...ですが,これらのうち対応するnが100に近いものは,p=18(n=111)です。
したがって,答えは111になります。

しかし,この方法1は上記の通り,時間がかかります。

(方法2)
問題文の前半に書かれている条件を文字式で表すと,
n-3=6p ...式1
となります。
後半に書かれている条件を文字式で表すと,
p-2=4q ...式2
となります。ここでqは,商です。
式2を式1に代入して式を整理すると,
n=24q+15 ...式3
となります。
nが100に近くなるように整数qを決めて,式3へ代入します。
候補としては,q=3またはq=4です。
q=3のとき,n=87
q=4のとき,n=111
これらのうち,100に近いのは,n=111です。
したがって,答えは111となります。

結論
この解法から言えることは,
文字式(方程式)を使った方が効率よく短時間で答えを導ける,
ということです。
ただし,式を立てられず方法2が使えない場合,
上記の方法1を試すことです。
あきらめてしまっては何も得られません。
posted by 塾代表 at 12:10| Comment(0) | TrackBack(0) | 問題解説
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